Otsene tõestus lausearvutuses

Mis on otsene tõestus?

Otsene tõestus on valemite jada, kus iga rida on premiss, oletus või saadud varasematest ridadest mõne reegli abil. Viimane rida on see, mida tahtsime tõestada.

Kirjutame A₁, …, Aₙ ⊢ B: premissidest A₁, …, Aₙ on tuletatav B. Otsene tõestus liigub premissidest samm-sammult järelduseni. Kaudne tõestus oletaks järelduse eituse ¬B ja jõuaks vastuoluni; siin harjutame ainult otsest teed.

Keel

P, Q, R, S	lausemuutujad
¬A	eitus: ei ole nii, et A
A ∧ B	konjunktsioon: A ja B
A ∨ B	disjunktsioon: A või B (kaasav)
A → B	implikatsioon: kui A, siis B
A ↔ B	ekvivalents: A parajasti siis, kui B

Tehete tugevus kahanevas järjekorras: ¬, ∧, ∨, →, ↔. Seega ¬P ∧ Q → R tähendab ((¬P) ∧ Q) → R.

Kaks reeglitüüpi

Klassikaline reeglistik jaguneb kaheks ja nende segiajamine on kõige sagedam vigade allikas.

Tuletusreeglid (MP, MT, HS, DS, KD, Simp, Konj, Add) rakenduvad ainult tervele reale ja ainult ühes suunas. Kui rida on (P → Q) ∨ R, siis MP-d kasutada ei saa, sest rida ise ei ole implikatsioon.

Asendusreeglid on samaväärsused. Need rakenduvad mõlemas suunas ja ka alamvalemi sees: kui A ja B on samaväärsed, võib ükskõik millises valemis ühe teisega asendada.

Tuletusreeglid

Joone kohal on read, mis peavad tõestuses juba olemas olema, joone all rida, mille reegel lisab.

Asendusreeglid

Rakenduses valid reegli ja rakendus näitab kõiki kohti, kuhu see sobib. Näiteks Impl teisendab ¬P ∨ Q kujule P → Q ja ka vastupidi.

Tinglik tõestus

Kui järeldus on implikatsioon A → B, oleta A ja tuleta sellest B. Oletuse sulgemisel saad rea A → B, mis enam oletusest ei sõltu. Oletuse all olevad read on tähistatud vasakul vertikaaljoonega; pärast sulgemist muutuvad need halliks ja neid enam kasutada ei saa.

Kuidas tõestust otsida

Vaata järelduse kuju. Implikatsioon viitab tinglikule tõestusele. Konjunktsioon tähendab, et tõesta mõlemad pooled eraldi ja ühenda Konj-iga. Disjunktsioon tuleb sageli Add-i või KD-ga.
Vaata premisside kuju. Implikatsioonidega töötavad MP, MT ja HS. Disjunktsiooniga DS ja KD. Konjunktsioonist alusta Simp-iga.
Kui kujud ei klapi, teisenda. Impl viib implikatsiooni ja disjunktsiooni teineteiseks, DeM viib eituse sulgudest sisse, DN tekitab reeglite jaoks vajaliku eituse.
Töö mõlemast otsast. Kirjuta välja, millist rida sul viimase sammu jaoks vaja oleks, ja otsi teed selleni.